ربما تساءل العديد من الطلاب الذين يدرسون الرياضيات العليا في سنواتهم الأخيرة: أين يتم تطبيق المعادلات التفاضلية (DE) عمليًا؟ كقاعدة عامة ، لا تتم مناقشة هذه المشكلة في المحاضرات ، وينتقل المعلمون على الفور إلى حل DE دون أن يشرحوا للطلاب تطبيق المعادلات التفاضلية في الحياة الواقعية. سنحاول سد هذه الفجوة.
لنبدأ بتحديد معادلة تفاضلية. إذن ، المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط قيمة مشتق الوظيفة بالدالة نفسها ، وقيم المتغير المستقل وبعض الأرقام (المعلمات).
المنطقة الأكثر شيوعًا التي يتم فيها تطبيق المعادلات التفاضلية هي الوصف الرياضي للظواهر الطبيعية. يتم استخدامها أيضًا في حل المشكلات حيث يكون من المستحيل إنشاء علاقة مباشرة بين بعض القيم التي تصف العملية. تنشأ مثل هذه المشاكل في علم الأحياء والفيزياء والاقتصاد.
في علم الأحياء:
كان أول نموذج رياضي ذي معنى يصف المجتمعات البيولوجية هو نموذج لوتكا وفولتيرا. يصف مجموعة من نوعين متفاعلين. الأول منها يسمى المفترسات ، في حالة عدم وجود الثانية ، يموت وفقًا للقانون x ′ = –ax (a> 0) ، والثاني - فريسة - في حالة عدم وجود الحيوانات المفترسة تتكاثر إلى أجل غير مسمى وفقًا للقانون مالتوس. تفاعل هذين النوعين على النحو التالي. يموت الضحايا بمعدل يساوي عدد مواجهات الحيوانات المفترسة والفريسة ، والتي يفترض في هذا النموذج أنها تتناسب مع حجم كلا المجموعتين ، أي يساوي dxy (d> 0). لذلك ، y ′ = by - dxy. تتكاثر الحيوانات المفترسة بمعدل يتناسب مع عدد الفريسة المأكولة: x ′ = –ax + cxy (c> 0). نظام المعادلات
س ′ = –ax + cxy ، (1)
ص ′ = ب - dxy ، (2)
تسمى الفريسة المفترسة التي تصف مثل هذه المجموعة نظام Lotka-Volterra (أو النموذج).
في الفيزياء:
يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني في شكل معادلة تفاضلية
م ((د ^ 2) س) / (دت ^ 2) = و (س ، ر) ،
حيث م هي كتلة الجسم ، س هي إحداثياته ، و (س ، تي) هي القوة المؤثرة على الجسم بالإحداثيات س في الوقت تي. حلها هو مسار الجسم تحت تأثير القوة المحددة.
في الاقتصاد:
نموذج النمو الطبيعي للإنتاج
سنفترض أن بعض المنتجات تُباع بسعر ثابت P. لنفترض أن Q (t) تدل على كمية المنتجات المباعة في الوقت t ؛ ثم في هذه المرحلة الزمنية يكون الدخل مساوياً لـ PQ (t). دع جزء من الدخل المحدد يتم إنفاقه على الاستثمارات في إنتاج المنتجات المباعة ، أي
أنا (ر) = mPQ (ر) ، (1)
حيث m هو معدل الاستثمار - رقم ثابت ، و 0
